引入
在生活中，人们经常关心“余数”问题，让我们来看一个问题：
2015 年 12 月 1 日是星期二，问 20 年后的 12 月 1 日是星期几？
解题思路：由于每年有 365 天，20 年里有 20x365=7300 天。
但每 4 年里有一个闰年，20 年里有 5 个闰年，所以 20 年里有 7305 天。
7305=7x1043 + 4，说明 20 年里有 1043 周，外加 4 天。
我们关心的其实不是 20 年里有多少周，而是“外加的 4 天”。（换句话说，关心的不是
商，而是余数）。
因此 20 年后的 12 月 1 日应该是星期六。
带余除数
13 ÷ 4 = 3……1
13 就是被除数，4 是除数，3 是商，1 是余数。
也等价于：13 = 3x4 + 1。 被除数 = 除数 x 商 + 余数。
对于已知整数 a 和自然数 b，求 q 和 r，使 a=bq+r（0<=r<b)成立的运算叫做有余数的除法， 或称为带余除法。记为：
a ÷ b = q(余 r) 或 a ÷ b = q…r
模运算
模运算的符号是 mod， 表示两个整数相除所得的余数。是数学和计算机科学当中一个非 常重要的概念。
带余除数 a ÷ b = q…r， 也等价于 a mod b = r
比如：
13 mod 4 = 1 (13 除以 4 的商是 3，余数是 1)
12 mod 5 = 2 (12 除以 5 的商是 2，余数是 2)
16 mod 6 = 4 (16 除以 6 的商是 2，余数是 4)
三大余数定理
1、 余数的加法定理
a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以 c 的余数。
例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16 除以 5 的余数等于 4，即两个余数之 和 3+1。
当两个余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。例如：23，19 除 以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+19 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数等于 2。
(a + b)%m = (a%m + b%m)%m
(a - b)%m = (a%m - b%m)%m
2、余数的乘法定理
a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或这个积除以 c 的余数。
例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23x16 除以 5 的余数等于 3x1=3，即两个余 数之积 3x1。
当两个余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以 c 的余数。例如：23，19 除 以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23x19 除以 5 的余数等于 3x4=12 除以 5 的余数等于 2。
(axb)%m = (a%mxb%m) %m
3、 同余定理
27 𝑚𝑜𝑑 8 = 3， 51 𝑚𝑜𝑑 8 = 3 其中 27 和 51 模 8 的余数相同，是同余算法。
同余算法：若整数 a、b 同除以自然数 n 的余数相同，则称 a 和 b 对模 n 同余。
记作 a ≡ b (mod n) 。 “≡”读作同余。
比如:
37 和 44 同除以 7，余数都是 2。 记作 37 ≡ 44 (mod 7)
27 和 51 同除以 8，余数都是 3。 记作 27 ≡ 51 (mod 8)
同余的性质
1、a ≡ a (mod m)。每个整数都与本身同余，称为同余的反身性。
2、若 a ≡ b (mod m)，那么 b ≡ a (mod m)。这称为同余的对称性。
3、若 a ≡ b (mod m)， b ≡ c (mod m)，那么 a ≡ c (mod m)。称为传递性。
比如 7 ≡ 5 (mod 2)， 5 ≡ 3 (mod 2)，那么 7 ≡ 3 (mod 2)。
4、若 a ≡ b (mod m)， c ≡ d (mod m)，那么：
a+c ≡ b+d (mod m)，这称为同余的可加性。
a-c ≡ b-d (mod m)，这称为同余的可减性。
axc ≡ bxd (mod m)，这称为同余的可乘性。
比如：
9 ≡ 7 (mod 2)， 5 ≡ 3 (mod 2)，那么：
9+5 ≡ 7+3 (mod 2)，同余的可加性。
9-5 ≡ 7-3 (mod 2) ，同余的可减性。
9x5 ≡ 7x3 (mod 2) ，同余的可乘性。
5、若 a ≡ b (mod m)，那么 𝑎 2 ≡ 𝑏 2 (mod m)，n 为正整数。
同余还有一个非常有趣的现象：
如果 a ≡ b (mod m)，那么 m | (a-b)。（a-b 的差一定能被 m 整除）。
比如：19 ≡ 10 (mod 3)，那么 3｜(19-10)。
课堂练习
第 1 题: 判断 5 和 17 对模 4 是否同余？
第 2 题: 判断 2 和 14 对模 4 是否同余？
第 3 题: 求 16x941x1611 的结果除以 7 的余数是多少?
第 4 题: 用某自然数 a 去除 1992，得到商是 46，余数是 r，求 a 和 r ?
第 5 题: 求 2461x135x6047÷11 的余数?