等差数列

从第 2 项起，每一项与前一项的差是同一个常数，该数列就称为等差数列，该常数称为等差数列的公差。

1、公差通常用字母 $d$ 表示: $d = a_n - a_{n-1} (n \ge 2)$

2、等差数列的递推公式: $a_n - a_{n-1} = d (n \ge 2)$

例如

求以下三组数列的公差:

1 3 5 7 9 11 13 …

4 8 12 16 20 24 28 …

10 20 30 40 50 60 70 ...

解：

1 3 5 7 9 11 13 … d=2

4 8 12 16 20 24 28 … d=4

10 20 30 40 50 60 70 … d=4

等差数列的通项公式

若等差数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$ ,公差是 $d$ ，根据定义得:

$a2 = a1 + d$

$a3 = a2 + d = a_1 + 2d$

$a4 = a3 + d = a_1 + 3d$

$a5 = a4 + d = a1 + 4d$

…….

$a_n = a_{n-1} + d = a_1 + (n - 1)d$

根据归纳总结，等差数列的通项公式为: $a_n = a_{n-1} + d = a_1 + (n - 1)d$

高斯小时候非常淘气，一次数学课上，老师为了让他们安静下来，给他们列了一道很难的算式，让他们一个小时内算出 $1+2+3+4+...+99+100$ 的得数。全班只有高斯用了不到 20 分钟给出了答案。

$1+2+3+4+...+99+100 = ?$

解： $1+2+3+4+...+99+100 = ?$

可以拆分成：

$1+100=101$

$2+99=101$

$3+98=101$ ……

$50+51=101$

一共加起来有 $50$ 组 $101$ ，所以最后的结果为: $50 \times 101$ = $505$

求等差数列的前 $n$ 项和 $S_n = a_1 + a_2 + a_3 +... + a_{n-1} + a_n$

$S_n= a_n + a_{n-1} + a_{n-2} +... + a_2 + a_1$

$2S_n = n(a_n + a_1)$

等差数列的前 $n$ 项和: $S_n = \frac {n(a_1+a_n)} {2}$