排列组合概念

排列：就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。

组合：则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。

排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数

排列

排列: 从 $n$ 个不同元素中任取 $m(m \le n)$ 个元素,按照一定的顺序排成一列,称为从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列。

排列数: 从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \le n)$ 个元素的所有排列的个数,称为从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数 , 用符号 $A^m_n$ 表示。排列数的计算公式为

$A^m_n$ = $n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-m+1)= \frac {n!} {(n-m)!}$

组合: 从 $n$ 个不同元素中任取 $m(m \le n)$ 个元素合并成一组,称为从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合。

组合数: 从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \le n)$ 个元素的所有组合的个数,称为从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数,用符号 $C^m_n$ 表示。组合数的计算公式为

$C^m_n = \frac {A^m_n} {m!} =\frac {n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-m+1)} {m!} = \frac {n!} {m! (n-m)!}$

$A^m_n$ = $n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-m+1)= \frac {n!} {(n-m)!}$

$C^m_n = \frac {A^m_n} {m!} =\frac {n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-m+1)} {m!} = \frac {n!} {m! (n-m)!}$

组合数是从 n 个不同元素中选取 m 个元素，选取出的 m 个元素不排列;

而排列数还需要对选取出的 m 个元素进行全排列;

所以组合数相比于排列数，需要去除重复全排列过程。

比如从 5 个元素当中选取 2 个元素的组合，有多少种情况？

$C^2_5 = \frac {A^2_5} {A^2_2} =\frac {5 \times 4} {2 \times 2} = 10$

排列和组合有什么共同点和不同点？

共同点：都是从 $n$ 个不同元素中任意取出 $m$ 个元素。

不同点：

排列和元素的顺序有关；

组合和元素的顺序无关。

第 1 题.袋中有 10 个球,7 黑 3 白,现从中任取 4 个恰取到 2 黑 2 白的取法共有多少种?

第 2 题: 从甲、乙、丙 3 名同学由选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加上午的动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法?

第 3 题: 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法?